الكلمات “الأمثل” و “تحسين” مستمدة من “Optimus” اللاتينية ، أو “الأفضل” ، كما في “تحقيق أفضل الأشياء”. يدرس أليسو فيجالي ، عالم الرياضيات في جامعة إيث زيوريخ ، النقل الأمثل: التخصيص الأكثر فعالية لنقاط البداية إلى نقاط النهاية. نطاق التحقيق واسع ، بما في ذلك السحب والبلورات والفقاعات ودردشة الدردشة.
الدكتور فيغالي ، الذي حصل على ميدالية الحقول في عام 2018 ، يحب الرياضيات بدافع من مشاكل ملموسة الموجودة في الطبيعة. وقال في مقابلة أجريت معه مؤخراً ، إنه يحب “إحساس الأبدية” بالانضباط. “إنه شيء سيكون هنا إلى الأبد.” (لا يوجد شيء إلى الأبد ، كما اعترف ، لكن الرياضيات ستكون موجودة منذ فترة طويلة.) “أنا أحب حقيقة أنه إذا أثبتت نظرية ، فأنت تثبت ذلك” ، قال. “لا يوجد غموض ، هذا صحيح أو خطأ. في مائة عام ، يمكنك الاعتماد عليها ، بغض النظر عن ما. “
تم تقديم دراسة النقل الأمثل منذ ما يقرب من 250 عامًا من قِبل جاسبارد مونج ، عالم الرياضيات والسياسي الفرنسي الذي كان مدفوعًا بمشاكل في الهندسة العسكرية. وجدت أفكاره تطبيقات أوسع في حل المشكلات اللوجستية خلال عصر نابليون – على سبيل المثال ، تحديد الطريقة الأكثر كفاءة لبناء التحصينات ، من أجل تقليل تكاليف نقل المواد في جميع أنحاء أوروبا.
في عام 1975 ، شارك عالم الرياضيات الروسي ليونيد كانوروفيتش نوبل في العلوم الاقتصادية لتحسين نظرية رياضية صارمة لتخصيص الموارد المثلى. قال الدكتور فيجالي: “كان لديه مثال مع المخابز والمقاهي”. كان هدف التحسين في هذه الحالة هو التأكد من أنه على أساس يومي ، قام كل مخبز بتسليم جميع كرواسانه ، وكل مقهى حصل على جميع الكرواسون المطلوب.
وقال: “يطلق عليه مشكلة تحسين العافية العالمية ، بمعنى أنه لا توجد منافسة بين المخابز ، ولا منافسة بين المقاهي”. “ليس مثل تحسين فائدة لاعب واحد. إنه تحسين الفائدة العالمية للسكان. وهذا هو السبب في أنه معقد للغاية: لأنه إذا قام أحد المخبز أو المقهى بعمل مختلف ، فسيؤثر ذلك على أي شخص آخر. “
تم تكثيف المحادثة التالية مع الدكتور فيجالي – التي أجريت في حدث في مدينة نيويورك التي نظمها معهد Simons Laufer للعلوم الرياضية وفي المقابلات قبل وبعد – من أجل الوضوح.
كيف يمكنك الانتهاء من الجملة “الرياضيات …”؟ ما هي الرياضيات؟
بالنسبة لي ، الرياضيات هي عملية إبداعية ولغة لوصف الطبيعة. والسبب في أن الرياضيات هي الطريقة التي يرجع السبب في ذلك إلى أن البشر أدركوا أنها كانت الطريقة الصحيحة لنمذجة الأرض وما كانوا يراقبونه. ما هو رائع هو أنه يعمل بشكل جيد.
هل تسعى الطبيعة دائمًا إلى التحسين؟
الطبيعة بطبيعة الحال محسن. لديها مبدأ الحد الأدنى من الطاقة-الطبيعة في حد ذاته. ثم بالطبع يصبح الأمر أكثر تعقيدًا عندما تدخل المتغيرات الأخرى في المعادلة. يعتمد ذلك على ما تدرسه.
عندما كنت أطبق النقل الأمثل على الأرصاد الجوية ، كنت أحاول فهم حركة السحب. كان نموذجًا مبسطًا حيث تم إهمال بعض المتغيرات المادية التي قد تؤثر على حركة السحب. على سبيل المثال ، قد تتجاهل الاحتكاك أو الرياح.
تتبع حركة جزيئات الماء في السحب مسار النقل الأمثل. وهنا تنقل مليارات النقاط ، مليارات جزيئات المياه ، إلى مليارات النقاط ، لذلك فهي مشكلة أكبر بكثير من 10 مخابز إلى 50 مقهى. الأرقام تنمو بشكل كبير. لهذا السبب تحتاج الرياضيات لدراستها.
ماذا عن النقل الأمثل استحوذ على اهتمامك؟
لقد كنت متحمسًا للغاية للتطبيقات ، وحقيقة أن الرياضيات كانت جميلة جدًا وجاءت من مشاكل ملموسة للغاية.
هناك تبادل مستمر بين ما يمكن أن تفعله الرياضيات وما يحتاجه الناس في العالم الحقيقي. كعلماء رياضيات ، يمكننا تخيل. نود زيادة الأبعاد – نحن نعمل في الفضاء الأبعاد اللانهائية ، والتي يعتقد الناس دائمًا أنها مجنونة بعض الشيء. ولكن هذا ما يسمح لنا الآن باستخدام الهواتف المحمولة وجوجل وجميع التكنولوجيا الحديثة التي لدينا. كل شيء لن يكون موجودًا لو لم يكن علماء الرياضيات مجنونًا بما يكفي للخروج من الحدود القياسية للعقل ، حيث نعيش فقط بثلاثة أبعاد. الواقع أكثر من ذلك بكثير.
في المجتمع ، يكون الخطر دائمًا أن يرى الناس أن الرياضيات مهمة عندما يرون العلاقة مع التطبيقات. لكن من المهم بعد ذلك – التفكير ، وتطورات نظرية جديدة جاءت من خلال الرياضيات بمرور الوقت والتي أدت إلى تغييرات كبيرة في المجتمع. كل شيء هو الرياضيات.
وغالبًا ما جاءت الرياضيات أولاً. ليس الأمر أنك تستيقظ بسؤال تطبيقي وتجد الإجابة. عادةً ما كانت الإجابة موجودة بالفعل ، لكنها كانت موجودة لأن الناس لديهم الوقت والحرية في التفكير الكبير. في الاتجاه الآخر ، يمكن أن تعمل ، ولكن بطريقة أكثر محدودية ، مشكلة عن طريق المشكلة. عادة ما تحدث تغييرات كبيرة بسبب التفكير الحر.
التحسين له حدوده. لا يمكن تحسين الإبداع حقًا.
نعم ، الإبداع هو عكس ذلك. لنفترض أنك تقوم بأبحاث جيدة جدًا في منطقة ما ؛ مخطط التحسين الخاص بك سيبقيك هناك. لكن من الأفضل أن تتحمل المخاطر. الفشل والإحباط هي المفتاح. إن الاختراقات الكبيرة ، والتغييرات الكبيرة ، تأتي دائمًا لأنك في لحظة تخرج من منطقة راحتك ، ولن تكون هذه عملية تحسين. يؤدي تحسين كل شيء إلى فقدان الفرص في بعض الأحيان. أعتقد أنه من المهم أن تقدر حقًا وأن تكون حذرًا مما تحسنه.
ماذا تعمل في هذه الأيام؟
أحد التحديات هو استخدام النقل الأمثل في التعلم الآلي.
من وجهة نظر نظرية ، يعد التعلم الآلي مجرد مشكلة تحسين حيث يكون لديك نظام ، وتريد تحسين بعض المعلمات ، أو الميزات ، بحيث يقوم الجهاز بعمل عدد معين من المهام.
لتصنيف الصور ، يقيس النقل الأمثل كيف تكون الصوران مماثلة من خلال مقارنة ميزات مثل الألوان أو القوام ووضع هذه الميزات في محاذاة – نقلها – بين الصورتين. تساعد هذه التقنية على تحسين الدقة ، مما يجعل النماذج أكثر قوة للتغييرات أو التشوهات.
هذه ظواهر عالية الأبعاد. أنت تحاول فهم الكائنات التي تحتوي على العديد من الميزات ، والعديد من المعلمات ، وكل ميزة تتوافق مع بعد واحد. لذلك إذا كان لديك 50 ميزة ، فأنت في مساحة 50-الأبعاد.
كلما ارتفع البعد الذي يعيش فيه الكائن ، كلما كانت مشكلة النقل المثلى أكثر تعقيدًا – تتطلب الكثير من الوقت ، والكثير من البيانات لحل المشكلة ، ولن تتمكن أبدًا من القيام بذلك. وهذا ما يسمى لعنة الأبعاد. في الآونة الأخيرة ، كان الناس يحاولون النظر في طرق لتجنب لعنة الأبعاد. فكرة واحدة هي تطوير نوع جديد من النقل الأمثل.
ما هو جوهره؟
من خلال انهيار بعض الميزات ، أقوم بتقليل النقل الأمثل إلى مساحة منخفضة الأبعاد. دعنا نقول أن ثلاثة أبعاد كبيرة جدًا بالنسبة لي وأريد أن أجعلها مشكلة أحادية البعد. أأخذ بعض النقاط في مساحتي ثلاثية الأبعاد وأعرضها على خط. أقوم بحل النقل الأمثل على الخط ، وأحسب ما يجب أن أفعله ، وأكرر ذلك للعديد من الخطوط. بعد ذلك ، باستخدام هذه النتائج في البعد ، أحاول إعادة بناء المساحة ثلاثية الأبعاد الأصلية بنوع من التلصق معًا. إنها ليست عملية واضحة.
يبدو نوعًا ما وكأنه ظل الكائن-يوفر ظل ثنائي الأبعاد مربع بعض المعلومات حول المكعب ثلاثي الأبعاد الذي يلقي الظل.
إنه مثل الظلال. مثال آخر هو الأشعة السينية ، وهي صور ثنائية الأبعاد لجسمك ثلاثي الأبعاد. ولكن إذا قمت بعمل الأشعة السينية في اتجاهات كافية ، فيمكنك تجميع الصور معًا وإعادة بناء جسمك.
إن قهر لعنة الأبعاد من شأنه أن يساعد في أوجه القصور والقيود في الذكاء الاصطناعي؟
إذا استخدمنا بعض تقنيات النقل المثلى ، فربما يمكن أن يجعل هذا بعض مشكلات التحسين هذه في التعلم الآلي أكثر قوة وأكثر استقرارًا وأكثر موثوقية وأقل تحيزًا وأكثر أمانًا. هذا هو مبدأ التعريف.
وفي التفاعل بين الرياضيات النقية والتطبيقية ، هنا الحاجة العملية والواقعية تحفز الرياضيات الجديدة؟
بالضبط. هندسة التعلم الآلي قادم للغاية. لكننا لا نعرف لماذا يعمل. هناك القليل من النظريات. مقارنة ما يمكن أن يحققه بما يمكننا إثباته ، هناك فجوة ضخمة. إنه أمر مثير للإعجاب ، لكن من الصعب شيوعًا أنه لا يزال من الصعب للغاية شرح السبب. لذلك لا يمكننا الوثوق به بما فيه الكفاية. نريد أن نجعل الأمر أفضل في العديد من الاتجاهات ، ونريد أن تساعد الرياضيات.
